Find the derivative with respect to x 

(1) y=sinx2+a2

let y=sinu

dydu=cosu

and u=v  dudv=12v

v=x2+a2  dvdx=2x

dydx=dydu dudvdvdx

=cosu12v2x

=xcosx2+a2x2+a2 Ans   



(2)  y=log2(sinx3)

=loge(sinx3)×log2e

let y=logeu×log2e

dydu=log2e1u

u=sinv     dudv=cosv

v=x3    dvdx=3x2

dydx=dydu dudvdvdx

=log2e1ucosv3x2

=3x2cot(x3)log2e Ans


(3)    y=ecosx

let, y=eu   y=eu  

dydu=eu 

u=v    dudv=12v

v=cosx   dvdx=sinx

dydx=dydu dudvdvdx

=eu 12v(sinx)

=ecosxsinx2cosx Ans



(4)     y=1log(secx)

let, y=1u     dydu=1u2

u=v       dudv=12v

v=log(secx)     dvdx=tanx 

dydx=dydu dudvdvdx

=1u212vtanx

=tanx2log(secx)log(secx) 

=12tanx[log(secx)]3/2 Ans


(5)    y=cos12x3

let  y=cos1u      dydu=11u2

u=v      dudv=12v

v=2x3   dvdx=2

dydx=dydu dudvdvdx

=11u212v2

=112x+312x3

=142x2x3

=1212x2x3 Ans


(6)         y=xx2+ax2

let,  y=u+v    dydx=dudx+dvdx

u=xx2

logu=x2logx

1ududx=2xlogx+x

dudx=xx2[2xlogx+x]

v=ax2

dvdx=2xax2logea

dydx=xx2[2xlogx+x]+2xax2logea Ans


(7)     y=(sinx)cosx+e3x

let,     y=u+v

dydx=dudx+dvdx

u=(sinx)cosx

logu=cosxlogsinx

1ududx=sinxlog(sinx)+cosxcotx

dudx=(sinx)cosx[cosxcotxsinxlog(sinx)]

dvdx=3e3x

dydx=(sinx)cosx[cosxcotxsinxlog(sinx)]+3e3x Ans


(8)      y=xx+(sinx)x

let,   y=u+v

dydx=dudx+dvdx

u=xx

logu=xlogx

1ududx=logx+1

dudx=xx[logx+1]

v=(sinx)x

logv=xlog(sinx)

1vdvdx=log(sinx)+xcotx

dvdx=(sinx)x[log(sinx)+xcotx]

dydx=xx[logx+1]+(sinx)x[log(sinx)+xcotx] Ans


(9)   y=(tanx)cotx+(cotx)tanx

let         y=u+v

dydx=dudx+dvdx

u=(tanx)cotx

logu=cotxlog(tanx)

1ududx=cosec2xlog(tanx)+sec2xtan2x

=(tanx)cotx[cosec2xlog(tanx)+sec2xtan2x]

v=(cotx)tanx

logv=tanxlog(cotx)

1vdvdx=sec2xlog(cotx)cosec2xcot2x

dvdx=(cotx)tanx[sec2xlog(cotx)cosec2xcot2x]

dydx=(tanx)cotx[cosec2xlog(tanx)+sec2xtan2x]

        +(cotx)tanx[sec2xlog(cotx)cosec2xcot2x] Ans


(10)     y=(sinx)cosx+(cosx)sinx

let       y=u+v

dydx=dudx+dvdx

u=(sinx)cosx

logu=cosxlog(sinx)

1ududx=sinxlog(sinx)+cosxcotx

dudx=(sinx)cosx[sinxlog(sinx)+cosxcotx]

v=(cosx)sinx

logv=sinxlog(cosx)

1vdvdx=cosxlog(cosx)secxtanx

dvdx=(cosx)sinx[cosxlog(cosx)secxtanx]

dydx=(sinx)cosx[sinxlog(sinx)+cosxcotx]

                      +(cosx)sinx[cosxlog(cosx)secxtanx] Ans


(11)    y=ecos1x+xx

let                 y=u+v

dydx=dudx+dvdx

u=ecos1x

dudx=ecos1x1x2

v=xx

logv=xlogx

1vdvdx=12xlogx+1x

dvdx=xx[12xlogx+1x]

dydx=ecos1x1x2

             +xx[12xlogx+1x] Ans


(12)   y=(sinx)tanx+(cosx)secx

let     y=u+v

dydx=dudx+dvdx

u=(sinx)tanx

logu=tanxlog(sinx)

1ududx=sec2xlog(sinx)+1

dudx=(sinx)tanx[sec2xlog(sinx)+1]

v=(cosx)secx

logv=secxlog(cosx)

1vdvdx=secxtanxlog(cosx)secxtanx

dvdx=(cosx)secx[secxtanxlog(cosx)secxtanx]

dydx=(sinx)tanx[sec2xlog(sinx)+1]

            +(cosx)secx[secxtanxlog(cosx)secxtanx] Ans


(13)     y=xsinx+(sinx)cosx

let          y=u+v

dydx=dudx+dvdx

u=xsinx

logu=sinxlogx

1ududx=cosxlogx+sinxx

dudx=xsinx[cosxlogx+sinxx]

v=(sinx)cosx

logv=cosxlog(sinx)

1vdvdx=sinxlog(sinx)+cosxcotx

dvdx=(sinx)cosx[sinxlog(sinx)+cosxcotx]

dydx=xsinx[cosxlogx+sinxx]

           +(sinx)cosx[sinxlog(sinx)+cosxcotx] Ans